(2*x+12)*(x-3)*(4-x)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 12\right) \left(4 - x\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 12\right) \left(4 - x\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 12\right) \left(4 - x\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 3 = 0$$
$$4 - x = 0$$
$$2 x + 12 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 3
2.
$$4 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -4$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -4 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x2 = 4
3.
$$2 x + 12 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = -12$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = -12 / (2)

Obtenemos la respuesta: x3 = -6
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -6$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = -6$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -6$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-6 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 12\right) \left(4 - x\right) < 0$$
$$\left(- \frac{61}{10} - 3\right) \left(\frac{\left(-61\right) 2}{10} + 12\right) \left(4 - - \frac{61}{10}\right) < 0$$

9191    
---- < 0
500     

pero

9191    
---- > 0
500     

Entonces
$$x < -6$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -6 \wedge x < 3$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > -6 \wedge x < 3$$
$$x > 4$$