2x+3|2x+2|<=4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 x + 3 \left|{2 x + 2}\right| \leq 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 x + 3 \left|{2 x + 2}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x + 2 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$2 x + 3 \left(2 x + 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$8 x + 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$

2.
$$2 x + 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
obtenemos la ecuación
$$2 x + 3 \left(- 2 x - 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 4 x - 10 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$


$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 x + 3 \left|{2 x + 2}\right| \leq 4$$
$$\frac{\left(-13\right) 2}{5} + 3 \left|{\frac{\left(-13\right) 2}{5} + 2}\right| \leq 4$$

22/5 <= 4

pero

22/5 >= 4

Entonces
$$x \leq - \frac{5}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{5}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1