|x-7|+7<9 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 7}\right| + 7 < 9$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 7}\right| + 7 = 9$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 7 \geq 0$$
o
$$7 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 7\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 9 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 9$$

2.
$$x - 7 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 7$$
obtenemos la ecuación
$$\left(7 - x\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$5 - x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 5$$


$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 5$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 9$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 5$$
=
$$\frac{49}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 7}\right| + 7 < 9$$
$$\left|{-7 + \frac{49}{10}}\right| + 7 < 9$$

91    
-- < 9
10    

pero

91    
-- > 9
10    

Entonces
$$x < 5$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 5 \wedge x < 9$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1