absx+2abs<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x}\right| + 2 \left|{x}\right| < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x}\right| + 2 \left|{x}\right| = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x \geq 0$$
o
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$3 x - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$

2.
$$x < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
obtenemos la ecuación
$$3 \left(- x\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$


$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x}\right| + 2 \left|{x}\right| < 1$$
$$\left|{- \frac{13}{30}}\right| + 2 \left|{- \frac{13}{30}}\right| < 1$$

13    
-- < 1
10    

pero

13    
-- > 1
10    

Entonces
$$x < - \frac{1}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{3} \wedge x < \frac{1}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1