(x^2+10x/10)-(2x+5/2)<=20 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 2 x - \frac{5}{2}\right) + \left(x^{2} + \frac{10 x}{10}\right) \leq 20$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 2 x - \frac{5}{2}\right) + \left(x^{2} + \frac{10 x}{10}\right) = 20$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$\left(- 2 x - \frac{5}{2}\right) + \left(x^{2} + \frac{10 x}{10}\right) = 20$$
en
$$\left(\left(- 2 x - \frac{5}{2}\right) + \left(x^{2} + \frac{10 x}{10}\right)\right) - 20 = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(\left(- 2 x - \frac{5}{2}\right) + \left(x^{2} + \frac{10 x}{10}\right)\right) - 20 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} - x - \frac{45}{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = - \frac{45}{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-45/2) = 91

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{91}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{91}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{91}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{91}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{91}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{91}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{91}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{91}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{91}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{91}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 2 x - \frac{5}{2}\right) + \left(x^{2} + \frac{10 x}{10}\right) \leq 20$$
$$\left(- \frac{5}{2} - 2 \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{91}}{2}\right)\right) + \left(\frac{10 \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{91}}{2}\right)}{10} + \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{91}}{2}\right)^{2}\right) \leq 20$$

                   2               
       /      ____\      ____      
  29   |2   \/ 91 |    \/ 91  <= 20
- -- + |- - ------|  + ------      
  10   \5     2   /      2         

pero

                   2               
       /      ____\      ____      
  29   |2   \/ 91 |    \/ 91  >= 20
- -- + |- - ------|  + ------      
  10   \5     2   /      2         

Entonces
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{91}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{91}}{2} \wedge x \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{91}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1