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(x^4-2x^3+x^2)/(x^2+x-2)-(2x^3+x^2+x-1)/(x+2)<=1
Resolver desigualdades/ (x^4-2x^3+x^2)/(x^2+x-2)-(2x^3+x^2+x-1)/(x+2)<=1

(x^4-2x^3+x^2)/(x^2+x-2)-(2x^3+x^2+x-1)/(x+2)<=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
 4      3    2      3    2             
x  - 2*x  + x    2*x  + x  + x - 1     
-------------- - ----------------- <= 1
   2                   x + 2           
  x  + x - 2
x2+(x4−2x3)(x2+x)−2−(x+(2x3+x2))−1x+2≤1\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{\left(x^{2} + x\right) - 2} - \frac{\left(x + \left(2 x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x + 2} \leq 1 
(x^2 + x^4 - 2*x^3)/(x^2 + x - 2) - (x + 2*x^3 + x^2 - 1)/(x + 2) <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
x2+(x4−2x3)(x2+x)−2−(x+(2x3+x2))−1x+2≤1\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{\left(x^{2} + x\right) - 2} - \frac{\left(x + \left(2 x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x + 2} \leq 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
x2+(x4−2x3)(x2+x)−2−(x+(2x3+x2))−1x+2=1\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{\left(x^{2} + x\right) - 2} - \frac{\left(x + \left(2 x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x + 2} = 1
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
x2+(x4−2x3)(x2+x)−2−(x+(2x3+x2))−1x+2=1\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{\left(x^{2} + x\right) - 2} - \frac{\left(x + \left(2 x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x + 2} = 1
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
−(x+1)(x2+x+1)x+2=0- \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right)}{x + 2} = 0
denominador
x+2x + 2
entonces
x no es igual a -2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
−x−1=0- x - 1 = 0
x2+x+1=0x^{2} + x + 1 = 0
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
−x−1=0- x - 1 = 0
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
−x=1- x = 1
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1
x = 1 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x1 = -1
3.
x2+x+1=0x^{2} + x + 1 = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
x2=D−b2ax_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
x3=−D−b2ax_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=1a = 1
b=1b = 1
c=1c = 1
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (1) = -3

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
x2=−12+3i2x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
x3=−12−3i2x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
pero
x no es igual a -2

x1=−1x_{1} = -1
x2=−12+3i2x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
x3=−12−3i2x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
Descartamos las soluciones complejas:
x1=−1x_{1} = -1
Las raíces dadas
x1=−1x_{1} = -1
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−1+−110-1 + - \frac{1}{10}
=
−1110- \frac{11}{10}
lo sustituimos en la expresión
x2+(x4−2x3)(x2+x)−2−(x+(2x3+x2))−1x+2≤1\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 2 x^{3}\right)}{\left(x^{2} + x\right) - 2} - \frac{\left(x + \left(2 x^{3} + x^{2}\right)\right) - 1}{x + 2} \leq 1
(−1110)2+((−1110)4−2(−1110)3)−2+(−1110+(−1110)2)−((2(−1110)3+(−1110)2)−1110)−1−1110+2≤1\frac{\left(- \frac{11}{10}\right)^{2} + \left(\left(- \frac{11}{10}\right)^{4} - 2 \left(- \frac{11}{10}\right)^{3}\right)}{-2 + \left(- \frac{11}{10} + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}\right)} - \frac{\left(\left(2 \left(- \frac{11}{10}\right)^{3} + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}\right) - \frac{11}{10}\right) - 1}{- \frac{11}{10} + 2} \leq 1
337     
--- <= 1
300

pero
337     
--- >= 1
300

Entonces
x≤−1x \leq -1
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
x≥−1x \geq -1
         _____  
        /
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0123456-5-4-3-2-1-1000010000
Respuesta rápida 2 [src] 
(-oo, -2) U [-1, 1) U (1, oo)
x in (−∞,−2)∪[−1,1)∪(1,∞)x\ in\ \left(-\infty, -2\right) \cup \left[-1, 1\right) \cup \left(1, \infty\right) 
x in Union(Interval.open(-oo, -2), Interval.Ropen(-1, 1), Interval.open(1, oo))
Respuesta rápida [src] 
Or(And(-1 <= x, x < 1), And(-oo < x, x < -2), And(1 < x, x < oo))
(−1≤x∧x<1)∨(−∞<x∧x<−2)∨(1<x∧x<∞)\left(-1 \leq x \wedge x < 1\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < -2\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right) 
((-1 <= x)∧(x < 1))∨((-oo < x)∧(x < -2))∨((1 < x)∧(x < oo))
Gráfico
(x^4-2x^3+x^2)/(x^2+x-2)-(2x^3+x^2+x-1)/(x+2)<=1 desigualdades
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