sqrt3tan(1/3x+pi/6)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{3 \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{3 \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{3 \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}} = 1$$
cambiamos
$$\sqrt{3} \sqrt{\tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}} - 1 = 0$$
$$\sqrt{3 \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{3 \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 1/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2:
Obtenemos:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{2} \left(\sqrt{0 w + \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}}\right)^{2} = 1^{2}$$
o
$$3 \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)} = 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

3*tanx/3+pi/6 = 1

Esta ecuación no tiene soluciones

hacemos cambio inverso
$$\tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
O
$$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{6}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$\frac{x}{3} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)} - \frac{\pi}{6}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{3}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2} + 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2} + 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2} + 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\pi}{2} + 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} + 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{3 \tan{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}} < 1$$
$$\sqrt{3 \tan{\left(\frac{- \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} + 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}} < 1$$

  ___   ________________________    
\/ 3 *\/ -tan(1/30 - atan(1/3))  < 1
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < - \frac{\pi}{2} + 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1