(10-5x)*(x+3)\x-4=>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-4 + \frac{\left(10 - 5 x\right) \left(x + 3\right)}{x} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-4 + \frac{\left(10 - 5 x\right) \left(x + 3\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-4 + \frac{\left(10 - 5 x\right) \left(x + 3\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{5 x^{2} + 9 x - 30}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$- 5 x^{2} - 9 x + 30 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$- 5 x^{2} - 9 x + 30 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -5$$
$$b = -9$$
$$c = 30$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-9)^2 - 4 * (-5) * (30) = 681

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{681}}{10} - \frac{9}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{10} + \frac{\sqrt{681}}{10}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{681}}{10} - \frac{9}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{10} + \frac{\sqrt{681}}{10}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{681}}{10} - \frac{9}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{10} + \frac{\sqrt{681}}{10}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{681}}{10} - \frac{9}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{10} + \frac{\sqrt{681}}{10}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{681}}{10} - \frac{9}{10}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{681}}{10} - 1$$
lo sustituimos en la expresión
$$-4 + \frac{\left(10 - 5 x\right) \left(x + 3\right)}{x} \geq 0$$
$$-4 + \frac{\left(10 - 5 \left(- \frac{\sqrt{681}}{10} - 1\right)\right) \left(\left(- \frac{\sqrt{681}}{10} - 1\right) + 3\right)}{- \frac{\sqrt{681}}{10} - 1} \geq 0$$

     /      _____\ /       _____\     
     |    \/ 681 | |     \/ 681 |     
     |2 - -------|*|15 + -------|     
     \       10  / \        2   /     
-4 + ---------------------------- >= 0
                    _____             
                  \/ 681              
             -1 - -------             
                     10               

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{\sqrt{681}}{10} - \frac{9}{10}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{\sqrt{681}}{10} - \frac{9}{10}$$
$$x \geq - \frac{9}{10} + \frac{\sqrt{681}}{10}$$