(-4x-3)(3-4x)(x-4)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(3 - 4 x\right) \left(- 4 x - 3\right) \left(x - 4\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(3 - 4 x\right) \left(- 4 x - 3\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(3 - 4 x\right) \left(- 4 x - 3\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
$$3 - 4 x = 0$$
$$- 4 x - 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
2.
$$3 - 4 x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 4 x = -3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -4

x = -3 / (-4)

Obtenemos la respuesta: x2 = 3/4
3.
$$- 4 x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 4 x = 3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -4

x = 3 / (-4)

Obtenemos la respuesta: x3 = -3/4
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{17}{20}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(3 - 4 x\right) \left(- 4 x - 3\right) \left(x - 4\right) \leq 0$$
$$\left(-3 - \frac{\left(-17\right) 4}{20}\right) \left(3 - \frac{\left(-17\right) 4}{20}\right) \left(-4 + - \frac{17}{20}\right) \leq 0$$

-1552      
------ <= 0
 125       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{3}{4}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{3}{4}$$
$$x \geq \frac{3}{4} \wedge x \leq 4$$