|x-7|>4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 7}\right| > 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 7}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 7 \geq 0$$
o
$$7 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 7\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 11 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 11$$

2.
$$x - 7 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 7$$
obtenemos la ecuación
$$\left(7 - x\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 - x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 3$$


$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 11$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 7}\right| > 4$$
$$\left|{-7 + \frac{29}{10}}\right| > 4$$

41    
-- > 4
10    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 3$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 3$$
$$x > 11$$