|x+3|+|x-4|<=9 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 4}\right| + \left|{x + 3}\right| \leq 9$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 4}\right| + \left|{x + 3}\right| = 9$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 4 \geq 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
o
$$4 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 4\right) + \left(x + 3\right) - 9 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 10 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 5$$

2.
$$x - 4 \geq 0$$
$$x + 3 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 4 < 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
o
$$-3 \leq x \wedge x < 4$$
obtenemos la ecuación
$$\left(4 - x\right) + \left(x + 3\right) - 9 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

4.
$$x - 4 < 0$$
$$x + 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(4 - x\right) + \left(- x - 3\right) - 9 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 8 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -4$$


$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 4}\right| + \left|{x + 3}\right| \leq 9$$
$$\left|{- \frac{41}{10} + 3}\right| + \left|{- \frac{41}{10} - 4}\right| \leq 9$$

46/5 <= 9

pero

46/5 >= 9

Entonces
$$x \leq -4$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 5$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1