|x^2-3x+2|+|x^2-5x+6|<2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right| + \left|{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right| < 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right| + \left|{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right| = 2$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} - 5 x + 6 \geq 0$$
$$x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$$
o
$$\left(3 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 1 \wedge -\infty < x\right) \vee x = 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x^{2} - 5 x + 6\right) + \left(x^{2} - 3 x + 2\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$

2.
$$x^{2} - 5 x + 6 \geq 0$$
$$x^{2} - 3 x + 2 < 0$$
o
$$1 < x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- x^{2} + 3 x - 2\right) + \left(x^{2} - 5 x + 6\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 - 2 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 1$$
pero x3 no satisface a la desigualdad

3.
$$x^{2} - 5 x + 6 < 0$$
$$x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$$
o
$$2 < x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- x^{2} + 5 x - 6\right) + \left(x^{2} - 3 x + 2\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = 3$$
pero x4 no satisface a la desigualdad

4.
$$x^{2} - 5 x + 6 < 0$$
$$x^{2} - 3 x + 2 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso


$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right| + \left|{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right| < 2$$
$$\left|{\left(- \frac{3 \cdot 9}{10} + \left(\frac{9}{10}\right)^{2}\right) + 2}\right| + \left|{\left(- \frac{5 \cdot 9}{10} + \left(\frac{9}{10}\right)^{2}\right) + 6}\right| < 2$$

121    
--- < 2
 50    

pero

121    
--- > 2
 50    

Entonces
$$x < 1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 \wedge x < 3$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2