|x+2|<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x + 2}\right| < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x + 2}\right| = 3$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 2 \geq 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x + 2\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 1$$

2.
$$x + 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- x - 2\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -5$$


$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x + 2}\right| < 3$$
$$\left|{- \frac{51}{10} + 2}\right| < 3$$

31    
-- < 3
10    

pero

31    
-- > 3
10    

Entonces
$$x < -5$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -5 \wedge x < 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1