((x-7)*(x+1))/(x-4)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 7\right) \left(x + 1\right)}{x - 4} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 7\right) \left(x + 1\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 7\right) \left(x + 1\right)}{x - 4} = 0$$
denominador
$$x - 4$$
entonces

x no es igual a 4

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 7 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 7$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 7
2.
$$x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -1
pero

x no es igual a 4

$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 7\right) \left(x + 1\right)}{x - 4} \geq 0$$
$$\frac{\left(-7 + - \frac{11}{10}\right) \left(- \frac{11}{10} + 1\right)}{-4 + - \frac{11}{10}} \geq 0$$

-27      
---- >= 0
170      

pero

-27     
---- < 0
170     

Entonces
$$x \leq -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 7$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1