|x-6|-7x<18 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- 7 x + \left|{x - 6}\right| < 18$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- 7 x + \left|{x - 6}\right| = 18$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 6 \geq 0$$
o
$$6 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$- 7 x + \left(x - 6\right) - 18 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 6 x - 24 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -4$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$x - 6 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 6$$
obtenemos la ecuación
$$- 7 x + \left(6 - x\right) - 18 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 8 x - 12 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$


$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{8}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- 7 x + \left|{x - 6}\right| < 18$$
$$\left|{-6 + - \frac{8}{5}}\right| - \frac{\left(-8\right) 7}{5} < 18$$

94/5 < 18

pero

94/5 > 18

Entonces
$$x < - \frac{3}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > - \frac{3}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1