(x−5)⋅log5(x+8)≥0. desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(x + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \left(x - 5\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(x + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \left(x - 5\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 5$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(x + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \left(x - 5\right) \geq 0$$
$$\frac{\log{\left(- \frac{71}{10} + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} \left(- \frac{71}{10} - 5\right) \geq 0$$

-121*log(9/10)     
-------------- >= 0
  10*log(5)        

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -7$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -7$$
$$x \geq 5$$