|x-5|<0,5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 5}\right| < \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 5}\right| = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 5 \geq 0$$
o
$$5 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 5\right) - \frac{1}{2} = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - \frac{11}{2} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$

2.
$$x - 5 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 5$$
obtenemos la ecuación
$$\left(5 - x\right) - \frac{1}{2} = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\frac{9}{2} - x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = \frac{9}{2}$$


$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{9}{2}$$
=
$$\frac{22}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 5}\right| < \frac{1}{2}$$
$$\left|{-5 + \frac{22}{5}}\right| < \frac{1}{2}$$

3/5 < 1/2

pero

3/5 > 1/2

Entonces
$$x < \frac{9}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{9}{2} \wedge x < \frac{11}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1