x+sqrt(x)-20>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\sqrt{x} + x\right) - 20 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sqrt{x} + x\right) - 20 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sqrt{x} + x\right) - 20 = 0$$
$$\sqrt{x} = 20 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x = \left(20 - x\right)^{2}$$
$$x = x^{2} - 40 x + 400$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 41 x - 400 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 41$$
$$c = -400$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(41)^2 - 4 * (-1) * (-400) = 81

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 16$$
$$x_{2} = 25$$

Como
$$\sqrt{x} = 20 - x$$
y
$$\sqrt{x} \geq 0$$
entonces
$$20 - x \geq 0$$
o
$$x \leq 20$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 16$$
$$x_{1} = 16$$
$$x_{1} = 16$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 16$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 16$$
=
$$\frac{159}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sqrt{x} + x\right) - 20 \geq 0$$
$$-20 + \left(\sqrt{\frac{159}{10}} + \frac{159}{10}\right) \geq 0$$

         ______     
  41   \/ 1590      
- -- + -------- >= 0
  10      10        
     

pero

         ______    
  41   \/ 1590     
- -- + -------- < 0
  10      10       
    

Entonces
$$x \leq 16$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 16$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1