(x²-(10*x)+25)/((x-5)*(x-7))≥-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x^{2} - 10 x\right) + 25}{\left(x - 7\right) \left(x - 5\right)} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x^{2} - 10 x\right) + 25}{\left(x - 7\right) \left(x - 5\right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 10 x\right) + 25}{\left(x - 7\right) \left(x - 5\right)} = -1$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{2 \left(x - 6\right)}{x - 7} = 0$$
denominador
$$x - 7$$
entonces

x no es igual a 7

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 x - 12 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 x - 12 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 12$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 12 / (2)

Obtenemos la respuesta: x1 = 6
pero

x no es igual a 7

$$x_{1} = 6$$
$$x_{1} = 6$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 6$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 6$$
=
$$\frac{59}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x^{2} - 10 x\right) + 25}{\left(x - 7\right) \left(x - 5\right)} \geq -1$$
$$\frac{\left(- \frac{10 \cdot 59}{10} + \left(\frac{59}{10}\right)^{2}\right) + 25}{\left(-7 + \frac{59}{10}\right) \left(-5 + \frac{59}{10}\right)} \geq -1$$

-9/11 >= -1

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 6$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1