(x+3)*(x-1)/2x-3>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{2} - 3 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{2} - 3 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{2} - 3 = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 3\right)}{2} = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$\frac{x}{2} + 1 = 0$$
$$x^{2} - 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$\frac{x}{2} + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\frac{x}{2} = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 1/2

x = -1 / (1/2)

Obtenemos la respuesta: x1 = -2
2.
$$x^{2} - 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-3) = 12

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{3} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{2} - 3 \geq 0$$
$$-3 + \frac{\left(-21\right) \frac{\left(- \frac{21}{10} - 1\right) \left(- \frac{21}{10} + 3\right)}{2}}{10} \geq 0$$

-141      
----- >= 0
 2000     

pero

-141     
----- < 0
 2000    

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq - \sqrt{3}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x3      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -2 \wedge x \leq - \sqrt{3}$$
$$x \geq \sqrt{3}$$