(2*x-5)^2*(9*x+8)*(3*x-2)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2 x - 5\right)^{2} \left(9 x + 8\right) \left(3 x - 2\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 x - 5\right)^{2} \left(9 x + 8\right) \left(3 x - 2\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(2 x - 5\right)^{2} \left(9 x + 8\right) \left(3 x - 2\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$3 x - 2 = 0$$
$$9 x + 8 = 0$$
$$2 x - 5 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$3 x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$3 x = 2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3

x = 2 / (3)

Obtenemos la respuesta: x1 = 2/3
2.
$$9 x + 8 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$9 x = -8$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 9

x = -8 / (9)

Obtenemos la respuesta: x2 = -8/9
3.
$$2 x - 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 5$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 5 / (2)

Obtenemos la respuesta: x3 = 5/2
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{8}{9}$$
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{8}{9}$$
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{8}{9}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{8}{9} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{89}{90}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 x - 5\right)^{2} \left(9 x + 8\right) \left(3 x - 2\right) \leq 0$$
$$\left(-5 + \frac{\left(-89\right) 2}{90}\right)^{2} \left(\frac{\left(-89\right) 9}{90} + 8\right) \left(\frac{\left(-89\right) 3}{90} - 2\right) \leq 0$$

3672701     
------- <= 0
 16875      

pero

3672701     
------- >= 0
 16875      

Entonces
$$x \leq - \frac{8}{9}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{8}{9} \wedge x \leq \frac{2}{3}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - \frac{8}{9} \wedge x \leq \frac{2}{3}$$
$$x \geq \frac{5}{2}$$