(x+8)*(x-4)/x-2>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-2 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 8\right)}{x} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-2 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 8\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-2 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 8\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} + 2 x - 32}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} + 2 x - 32 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} + 2 x - 32 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -32$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-32) = 132

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -1 + \sqrt{33}$$
$$x_{2} = - \sqrt{33} - 1$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = -1 + \sqrt{33}$$
$$x_{2} = - \sqrt{33} - 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{33}$$
$$x_{2} = - \sqrt{33} - 1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \sqrt{33} - 1$$
$$x_{1} = -1 + \sqrt{33}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \sqrt{33} - 1\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{33} - \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-2 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 8\right)}{x} > 0$$
$$-2 + \frac{\left(\left(- \sqrt{33} - \frac{11}{10}\right) - 4\right) \left(\left(- \sqrt{33} - \frac{11}{10}\right) + 8\right)}{- \sqrt{33} - \frac{11}{10}} > 0$$

     /  51     ____\ /69     ____\    
     |- -- - \/ 33 |*|-- - \/ 33 |    
     \  10         / \10         /    
-2 + ----------------------------- > 0
               11     ____            
             - -- - \/ 33             
               10                     

Entonces
$$x < - \sqrt{33} - 1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \sqrt{33} - 1 \wedge x < -1 + \sqrt{33}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1