(x^2-3x+7,2)^2-(x^2+3x+1,3)^2>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \frac{36}{5}\right)^{2} - \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{13}{10}\right)^{2} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \frac{36}{5}\right)^{2} - \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{13}{10}\right)^{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \frac{36}{5}\right)^{2} - \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{13}{10}\right)^{2} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{\left(60 x - 59\right) \left(4 x^{2} + 17\right)}{20} = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$\frac{59}{20} - 3 x = 0$$
$$4 x^{2} + 17 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$\frac{59}{20} - 3 x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 3 x = - \frac{59}{20}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -3

x = -59/20 / (-3)

Obtenemos la respuesta: x1 = 59/60
2.
$$4 x^{2} + 17 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = 0$$
$$c = 17$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (4) * (17) = -272

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = \frac{\sqrt{17} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{17} i}{2}$$
$$x_{1} = \frac{59}{60}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{17} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{17} i}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{59}{60}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{59}{60}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{59}{60}$$
=
$$\frac{53}{60}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \frac{36}{5}\right)^{2} - \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{13}{10}\right)^{2} > 0$$
$$- \left(\frac{13}{10} + \left(\left(\frac{53}{60}\right)^{2} + \frac{3 \cdot 53}{60}\right)\right)^{2} + \left(\left(- \frac{3 \cdot 53}{60} + \left(\frac{53}{60}\right)^{2}\right) + \frac{36}{5}\right)^{2} > 0$$

18109    
----- > 0
 3000    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{59}{60}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1