((|2*x-1|))+((|3*x-6|))<12 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 x - 1}\right| + \left|{3 x - 6}\right| < 12$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 x - 1}\right| + \left|{3 x - 6}\right| = 12$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x - 1 \geq 0$$
$$3 x - 6 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x - 1\right) + \left(3 x - 6\right) - 12 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$5 x - 19 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{19}{5}$$

2.
$$2 x - 1 \geq 0$$
$$3 x - 6 < 0$$
o
$$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(6 - 3 x\right) + \left(2 x - 1\right) - 12 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 7 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -7$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

3.
$$2 x - 1 < 0$$
$$3 x - 6 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$2 x - 1 < 0$$
$$3 x - 6 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - 2 x\right) + \left(6 - 3 x\right) - 12 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 5 x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -1$$


$$x_{1} = \frac{19}{5}$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = \frac{19}{5}$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = \frac{19}{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 x - 1}\right| + \left|{3 x - 6}\right| < 12$$
$$\left|{\frac{\left(-11\right) 2}{10} - 1}\right| + \left|{-6 + \frac{\left(-11\right) 3}{10}}\right| < 12$$

25/2 < 12

pero

25/2 > 12

Entonces
$$x < -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -1 \wedge x < \frac{19}{5}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1