2sin^2(x/2)<=1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2}$$
cambiamos
$$\frac{1}{2} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{2} \sqrt{\left(0 w + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$$
$$\sqrt{2} \sqrt{\left(0 w + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$
o
$$\sqrt{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sqrt{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

sqrt2sinx/2 = sqrt(2)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

sqrt2sinx/2 = sqrt2/2

Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

sqrt2sinx/2 = -sqrt(2)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

sqrt2sinx/2 = -sqrt2/2

Esta ecuación no tiene soluciones
o

hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq \frac{1}{2}$$
$$2 \sin^{2}{\left(\frac{- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \leq \frac{1}{2}$$

     2/1    pi\       
2*sin |-- + --| <= 1/2
      \20   6 /       

pero

     2/1    pi\       
2*sin |-- + --| >= 1/2
      \20   6 /       

Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{3} \wedge x \leq \frac{\pi}{3}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - \frac{\pi}{3} \wedge x \leq \frac{\pi}{3}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{3} \wedge x \leq \frac{7 \pi}{3}$$