2^(2*x)+2^x+2<=20 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2^{2 x} + 2^{x}\right) + 2 \leq 20$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2^{2 x} + 2^{x}\right) + 2 = 20$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(2^{2 x} + 2^{x}\right) + 2 = 20$$
o
$$\left(\left(2^{2 x} + 2^{x}\right) + 2\right) - 20 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + v - 18 = 0$$
o
$$v^{2} + v - 18 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -18$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-18) = 73

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2^{2 x} + 2^{x}\right) + 2 \leq 20$$
$$\left(2^{2 \left(- \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{3}{5}\right)} + 2^{- \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{3}{5}}\right) + 2 \leq 20$$

                             ____      
       6     ____      3   \/ 73       
     - - - \/ 73     - - - ------ <= 20
       5               5     2         
2 + 2             + 2                  

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{\sqrt{73}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x \geq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{73}}{2}$$