(x-30)(x+54)(24-x)≤0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 30\right) \left(x + 54\right) \left(24 - x\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 30\right) \left(x + 54\right) \left(24 - x\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 30\right) \left(x + 54\right) \left(24 - x\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 30 = 0$$
$$x + 54 = 0$$
$$24 - x = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 30 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 30$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 30
2.
$$x + 54 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -54$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -54
3.
$$24 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -24$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -24 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x3 = 24
$$x_{1} = 30$$
$$x_{2} = -54$$
$$x_{3} = 24$$
$$x_{1} = 30$$
$$x_{2} = -54$$
$$x_{3} = 24$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -54$$
$$x_{3} = 24$$
$$x_{1} = 30$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-54 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{541}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 30\right) \left(x + 54\right) \left(24 - x\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{541}{10} - 30\right) \left(- \frac{541}{10} + 54\right) \left(24 - - \frac{541}{10}\right) \leq 0$$

656821     
------ <= 0
 1000      

pero

656821     
------ >= 0
 1000      

Entonces
$$x \leq -54$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -54 \wedge x \leq 24$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x3      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -54 \wedge x \leq 24$$
$$x \geq 30$$