(x^2+2*x-15)*(7-x)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(7 - x\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 15\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(7 - x\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 15\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(7 - x\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 15\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$7 - x = 0$$
$$x^{2} + 2 x - 15 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$7 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -7$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -7 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x1 = 7
2.
$$x^{2} + 2 x - 15 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -15$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-15) = 64

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -5$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -5$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -5$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -5$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(7 - x\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 15\right) \geq 0$$
$$\left(-15 + \left(\frac{\left(-51\right) 2}{10} + \left(- \frac{51}{10}\right)^{2}\right)\right) \left(7 - - \frac{51}{10}\right) \geq 0$$

9801     
---- >= 0
1000     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -5$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -5$$
$$x \geq 3 \wedge x \leq 7$$