x^2-(sqrt5-sqrt2)x-sqrt10<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} - x \left(- \sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\right) - \sqrt{10} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} - x \left(- \sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\right) - \sqrt{10} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(x^{2} - x \left(- \sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\right) - \sqrt{10} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} - \sqrt{5} x + \sqrt{2} x - \sqrt{10} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = - \sqrt{5} + \sqrt{2}$$
$$c = - \sqrt{10}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(sqrt(2) - sqrt(5))^2 - 4 * (1) * (-sqrt(10)) = (sqrt(2) - sqrt(5))^2 + 4*sqrt(10)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} - x \left(- \sqrt{2} + \sqrt{5}\right)\right) - \sqrt{10} \leq 0$$
$$- \sqrt{10} + \left(- \left(- \sqrt{2} + \sqrt{5}\right) \left(- \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\right) \leq 0$$

                                                          2                                                                                           
/                           _____________________________\                             /                           _____________________________\     
|                          /                2            |                             |                          /                2            |     
|         ___     ___     /  /  ___     ___\        ____ |                             |         ___     ___     /  /  ___     ___\        ____ | <= 0
|  1    \/ 5    \/ 2    \/   \\/ 2  - \/ 5 /  + 4*\/ 10  |      ____   /  ___     ___\ |  1    \/ 5    \/ 2    \/   \\/ 2  - \/ 5 /  + 4*\/ 10  |     
|- -- + ----- - ----- - ---------------------------------|  - \/ 10  - \\/ 5  - \/ 2 /*|- -- + ----- - ----- - ---------------------------------|     
\  10     2       2                     2                /                             \  10     2       2                     2                /     

pero

                                                          2                                                                                           
/                           _____________________________\                             /                           _____________________________\     
|                          /                2            |                             |                          /                2            |     
|         ___     ___     /  /  ___     ___\        ____ |                             |         ___     ___     /  /  ___     ___\        ____ | >= 0
|  1    \/ 5    \/ 2    \/   \\/ 2  - \/ 5 /  + 4*\/ 10  |      ____   /  ___     ___\ |  1    \/ 5    \/ 2    \/   \\/ 2  - \/ 5 /  + 4*\/ 10  |     
|- -- + ----- - ----- - ---------------------------------|  - \/ 10  - \\/ 5  - \/ 2 /*|- -- + ----- - ----- - ---------------------------------|     
\  10     2       2                     2                /                             \  10     2       2                     2                /     

Entonces
$$x \leq - \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \wedge x \leq - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{\left(- \sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^{2} + 4 \sqrt{10}}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1