x(x+7)(3-6x)=>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \left(x + 7\right) \left(3 - 6 x\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \left(x + 7\right) \left(3 - 6 x\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x \left(x + 7\right) \left(3 - 6 x\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x = 0$$
$$x + 7 = 0$$
$$3 - 6 x = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x = 0$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 0
2.
$$x + 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -7$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -7
3.
$$3 - 6 x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 6 x = -3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -6

x = -3 / (-6)

Obtenemos la respuesta: x3 = 1/2
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{3} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{3} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -7$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \left(x + 7\right) \left(3 - 6 x\right) \geq 0$$
$$\frac{\left(-71\right) \left(- \frac{71}{10} + 7\right)}{10} \left(3 - \frac{\left(-71\right) 6}{10}\right) \geq 0$$

4047     
---- >= 0
125      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -7$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -7$$
$$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{1}{2}$$