5+x/(x-7)(x-4)≤0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x}{x - 7} \left(x - 4\right) + 5 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x}{x - 7} \left(x - 4\right) + 5 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x}{x - 7} \left(x - 4\right) + 5 = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} + x - 35}{x - 7} = 0$$
denominador
$$x - 7$$
entonces

x no es igual a 7

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} + x - 35 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} + x - 35 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -35$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-35) = 141

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{141}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{1}{2}$$
pero

x no es igual a 7

$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{141}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{141}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{141}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x}{x - 7} \left(x - 4\right) + 5 \leq 0$$
$$\frac{- \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{3}{5}}{-7 + \left(- \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{3}{5}\right)} \left(\left(- \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{3}{5}\right) - 4\right) + 5 \leq 0$$

    /         _____\ /        _____\     
    |  23   \/ 141 | |  3   \/ 141 |     
    |- -- - -------|*|- - - -------|     
    \  5       2   / \  5      2   /     
5 + -------------------------------- <= 0
                      _____              
               38   \/ 141               
             - -- - -------              
               5       2                 

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{\sqrt{141}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x \geq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{141}}{2}$$