x^2-6x+7<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} - 6 x\right) + 7 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} - 6 x\right) + 7 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = 7$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (1) * (7) = 8

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \sqrt{2} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = \sqrt{2} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = \sqrt{2} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 3 - \sqrt{2}$$
$$x_{1} = \sqrt{2} + 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(3 - \sqrt{2}\right)$$
=
$$\frac{29}{10} - \sqrt{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} - 6 x\right) + 7 < 0$$
$$\left(- 6 \left(\frac{29}{10} - \sqrt{2}\right) + \left(\frac{29}{10} - \sqrt{2}\right)^{2}\right) + 7 < 0$$

                   2              
  52   /29     ___\        ___    
- -- + |-- - \/ 2 |  + 6*\/ 2  < 0
  5    \10        /               
    

pero

                   2              
  52   /29     ___\        ___    
- -- + |-- - \/ 2 |  + 6*\/ 2  > 0
  5    \10        /               
    

Entonces
$$x < 3 - \sqrt{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 3 - \sqrt{2} \wedge x < \sqrt{2} + 3$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1