2sin(x+4)>√3/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \sin{\left(x + 4 \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(x + 4 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(x + 4 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(x + 4 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + 4 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
$$x + 4 = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)} + \pi$$
O
$$x + 4 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
$$x + 4 = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$4$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = 2 \pi n - 4 + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - 4 - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n - 4 + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - 4 - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n - 4 + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - 4 - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)} + \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - 4 + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - 4 - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)} + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - 4 + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{41}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(x + 4 \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$2 \sin{\left(\left(2 \pi n - \frac{41}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}\right) + 4 \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$

     /                    /  ___\\     ___
     |  1                 |\/ 3 ||   \/ 3 
2*sin|- -- + 2*pi*n + asin|-----|| > -----
     \  10                \  4  //     2  
   

Entonces
$$x < 2 \pi n - 4 + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 2 \pi n - 4 + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)} \wedge x < 2 \pi n - 4 - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \right)} + \pi$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2