(x-7)*(x+8)*(x-12)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 7\right) \left(x + 8\right) \left(x - 12\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 7\right) \left(x + 8\right) \left(x - 12\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 7\right) \left(x + 8\right) \left(x - 12\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 12 = 0$$
$$x - 7 = 0$$
$$x + 8 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 12 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 12$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 12
2.
$$x - 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 7$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 7
3.
$$x + 8 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -8$$
Obtenemos la respuesta: x3 = -8
$$x_{1} = 12$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = -8$$
$$x_{1} = 12$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = -8$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -8$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = 12$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-8 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{81}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 7\right) \left(x + 8\right) \left(x - 12\right) \geq 0$$
$$\left(- \frac{81}{10} - 7\right) \left(- \frac{81}{10} + 8\right) \left(-12 + - \frac{81}{10}\right) \geq 0$$

-30351      
------- >= 0
  1000      

pero

-30351     
------- < 0
  1000     

Entonces
$$x \leq -8$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -8 \wedge x \leq 7$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -8 \wedge x \leq 7$$
$$x \geq 12$$