|x-56/9|<8 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - \frac{56}{9}}\right| < 8$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - \frac{56}{9}}\right| = 8$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - \frac{56}{9} \geq 0$$
o
$$\frac{56}{9} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - \frac{56}{9}\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - \frac{128}{9} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{128}{9}$$

2.
$$x - \frac{56}{9} < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{56}{9}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(\frac{56}{9} - x\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - \frac{16}{9} = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{16}{9}$$


$$x_{1} = \frac{128}{9}$$
$$x_{2} = - \frac{16}{9}$$
$$x_{1} = \frac{128}{9}$$
$$x_{2} = - \frac{16}{9}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{16}{9}$$
$$x_{1} = \frac{128}{9}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{16}{9} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{169}{90}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - \frac{56}{9}}\right| < 8$$
$$\left|{- \frac{56}{9} + - \frac{169}{90}}\right| < 8$$

81    
-- < 8
10    

pero

81    
-- > 8
10    

Entonces
$$x < - \frac{16}{9}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{16}{9} \wedge x < \frac{128}{9}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1