(sqrt(4x+15)-2x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- 2 x + \sqrt{4 x + 15} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- 2 x + \sqrt{4 x + 15} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- 2 x + \sqrt{4 x + 15} = 0$$
$$\sqrt{4 x + 15} = 2 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x + 15 = 4 x^{2}$$
$$4 x + 15 = 4 x^{2}$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} + 4 x + 15 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 4$$
$$c = 15$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (-4) * (15) = 256

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2}$$

Como
$$\sqrt{4 x + 15} = 2 x$$
y
$$\sqrt{4 x + 15} \geq 0$$
entonces
$$2 x \geq 0$$
o
$$0 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{5}{2}$$
=
$$\frac{12}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- 2 x + \sqrt{4 x + 15} > 0$$
$$- \frac{2 \cdot 12}{5} + \sqrt{\frac{4 \cdot 12}{5} + 15} > 0$$

         _____    
  24   \/ 615     
- -- + ------- > 0
  5       5       
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{5}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1