Sr Examen

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sin(x)-1/2<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
sin(x) - 1/2 < 0
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} < 0$$
sin(x) - 1/2 < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Transportemos -1/2 al miembro derecho de la ecuación

cambiando el signo de -1/2

Obtenemos:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} < 0$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)} - \frac{1}{2} < 0$$
  1      /  1    pi         \    
- - + sin|- -- + -- + 2*pi*n| < 0
  2      \  10   6          /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
    pi     5*pi       
[0, --) U (----, 2*pi]
    6       6         
$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{6}, 2 \pi\right]$$
x in Union(Interval.Ropen(0, pi/6), Interval.Lopen(5*pi/6, 2*pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /            pi\     /           5*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= 2*pi, ---- < x||
  \   \            6 /     \            6      //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(x \leq 2 \pi \wedge \frac{5 \pi}{6} < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < pi/6))∨((x <= 2*pi)∧(5*pi/6 < x))