Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Transportemos -1/2 al miembro derecho de la ecuación
cambiando el signo de -1/2
Obtenemos:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} - \frac{1}{2} < 0$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)} - \frac{1}{2} < 0$$
1 / 1 pi \
- - + sin|- -- + -- + 2*pi*n| < 0
2 \ 10 6 /
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$