|x-2|<5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 2}\right| < 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 2}\right| = 5$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 2\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 7 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 7$$

2.
$$x - 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -3$$


$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 2}\right| < 5$$
$$\left|{- \frac{31}{10} - 2}\right| < 5$$

51    
-- < 5
10    

pero

51    
-- > 5
10    

Entonces
$$x < -3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -3 \wedge x < 7$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1