Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro + dos *x)/(cinco + dos *x))^x
- ((4 más 2 multiplicar por x) dividir por (5 más 2 multiplicar por x)) en el grado x
- ((cuatro más dos multiplicar por x) dividir por (cinco más dos multiplicar por x)) en el grado x
- ((4+2*x)/(5+2*x))x
- 4+2*x/5+2*xx
- ((4+2x)/(5+2x))^x
- ((4+2x)/(5+2x))x
- 4+2x/5+2xx
- 4+2x/5+2x^x
- ((4+2*x) dividir por (5+2*x))^x
-
Expresiones semejantes
- ((4+2*x)/(5-2*x))^x
- ((4-2*x)/(5+2*x))^x
Límite de la función ((4+2*x)/(5+2*x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/4 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\5 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x}$$
Limit(((4 + 2*x)/(5 + 2*x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 5\right) - 1}{2 x + 5}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 x + 5}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 5}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 x + 5}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2} - \frac{5}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 5\right) - 1}{2 x + 5}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 x + 5}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 5}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 x + 5}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2} - \frac{5}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{2}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = \frac{6}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = \frac{6}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = \frac{6}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = \frac{6}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 4}{2 x + 5}\right)^{x} = e^{- \frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico