Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(7^{x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4^{x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7^{x} - 1}{4^{x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(7^{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(4^{x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4^{- x} 7^{x} \log{\left(7 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)