Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco +n)/(uno +n))^(dos +n)
- ((5 más n) dividir por (1 más n)) en el grado (2 más n)
- ((cinco más n) dividir por (uno más n)) en el grado (dos más n)
- ((5+n)/(1+n))(2+n)
- 5+n/1+n2+n
- 5+n/1+n^2+n
- ((5+n) dividir por (1+n))^(2+n)
-
Expresiones semejantes
- ((5+n)/(1+n))^(2-n)
- ((5+n)/(1-n))^(2+n)
- ((5-n)/(1+n))^(2+n)
Límite de la función ((5+n)/(1+n))^(2+n)
Solución
Ha introducido
[src]
2 + n
/5 + n\
lim |-----|
n->oo\1 + n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
Limit(((5 + n)/(1 + n))^(2 + n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) + 4}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 1} + \frac{4}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{4}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{4}{n + 1}\right)^{n + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = e^{4}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) + 4}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 1} + \frac{4}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{4}{n + 1}\right)^{n + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{4}{n + 1}\right)^{n + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = e^{4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = e^{4}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = 25$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = 25$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = 27$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = 27$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = e^{4}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = 25$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = 25$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = 27$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = 27$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 5}{n + 1}\right)^{n + 2} = e^{4}$$
Más detalles con n→-oo