Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{4} - 3 x^{2} + 7\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} + 2 x^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4} + \left(7 - 3 x^{2}\right)}{2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4} - 3 x^{2} + 7}{x^{4} + 2 x^{3} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} - 3 x^{2} + 7\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 2 x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x^{3} - 6 x}{4 x^{3} + 6 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{20 x^{3} - 6 x}{4 x^{3} + 6 x^{2}}\right)$$
=
$$5$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)