Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{2 x} = e^{4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
2*x
/2 + x\
lim |-----|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{2 x}$$
$$1$$
2*x
/2 + x\
lim |-----|
x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{2 x}$$
$$1$$
= (0.995863695671287 - 0.00142870487600758j)
= (0.995863695671287 - 0.00142870487600758j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1