Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (uno -cos(x))/(x*(- uno +sqrt(uno +x)))
- (1 menos coseno de (x)) dividir por (x multiplicar por ( menos 1 más raíz cuadrada de (1 más x)))
- (uno menos coseno de (x)) dividir por (x multiplicar por ( menos uno más raíz cuadrada de (uno más x)))
- (1-cos(x))/(x*(-1+√(1+x)))
- (1-cos(x))/(x(-1+sqrt(1+x)))
- 1-cosx/x-1+sqrt1+x
- (1-cos(x)) dividir por (x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Expresiones semejantes
- (1-cos(x))/(x*(1+sqrt(1+x)))
- (1+cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
- (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1-x)))
- (1-cos(x))/(x*(-1-sqrt(1+x)))
- (1-cosx)/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(sqrt(x))/x
- cos(x)/(1-sin(x))
- cos(4*x)*cot(5*x)*tan(3*x)/(cos(7*x)*cot(7*x)*sin(6*x))
- cos(x)/(1+x)
- cos(sqrt(x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
Límite de la función (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 - cos(x) \
lim |------------------|
x->0+| / _______\|
\x*\-1 + \/ 1 + x //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
Limit((1 - cos(x))/((x*(-1 + sqrt(1 + x)))), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sqrt{x + 1} \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sqrt{x + 1} \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 1 - cos(x) \
lim |------------------|
x->0+| / _______\|
\x*\-1 + \/ 1 + x //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
/ 1 - cos(x) \
lim |------------------|
x->0-| / _______\|
\x*\-1 + \/ 1 + x //
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
= 1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = - \frac{-1 + \cos{\left(1 \right)}}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico