Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(cuatro +n)-sqrt(- uno +n)
- raíz cuadrada de (4 más n) menos raíz cuadrada de ( menos 1 más n)
- raíz cuadrada de (cuatro más n) menos raíz cuadrada de ( menos uno más n)
- √(4+n)-√(-1+n)
- sqrt4+n-sqrt-1+n
-
Expresiones semejantes
- sqrt(4+n)+sqrt(-1+n)
- sqrt(4+n)-sqrt(1+n)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1-n)
- sqrt(4-n)-sqrt(-1+n)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
- sqrt(4+x^2+5*x)-sqrt(x+x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- sqrt(x)-log(x)
- sqrt(4+x^2+5*x)-sqrt(x+x^2)
Límite de la función sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______ ________\ lim \\/ 4 + n - \/ -1 + n / n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right)$$
Limit(sqrt(4 + n) - sqrt(-1 + n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) \left(\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right)}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{n - 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{n + 4}\right)^{2}}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(1 - n\right) + \left(n + 4\right)}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(n):
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n} \left(\frac{\sqrt{n - 1}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n + 4}}{\sqrt{n}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n} \left(\sqrt{\frac{n - 1}{n}} + \sqrt{\frac{n + 4}{n}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{4}{n}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{4}{n}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5}{\left(\sqrt{1 - u} + \sqrt{4 u + 1}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{5}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0 \cdot 4 + 1}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) \left(\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right)}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{n - 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{n + 4}\right)^{2}}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(1 - n\right) + \left(n + 4\right)}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por sqrt(n):
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n} \left(\frac{\sqrt{n - 1}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n + 4}}{\sqrt{n}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n} \left(\sqrt{\frac{n - 1}{n}} + \sqrt{\frac{n + 4}{n}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{4}{n}}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{4}{n}}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5}{\left(\sqrt{1 - u} + \sqrt{4 u + 1}\right) \sqrt{\frac{1}{u}}}\right)$$ =
= $$\frac{5}{\tilde{\infty} \left(\sqrt{1 - 0} + \sqrt{0 \cdot 4 + 1}\right)} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 2 - i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 2 - i$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 2 - i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 2 - i$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = \sqrt{5}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(- \sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 4}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico