Sr Examen

Otras calculadoras:

sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
Límite de la función/ sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))

Límite de la función sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   _____________\
     |  /        / 2\ |
     |\/  1 - cos\x / |
 lim |----------------|
x->0+\   1 - cos(x)   /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) 
Limit(sqrt(1 - cos(x^2))/(1 - cos(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+1−cos⁡(x2)=0\lim_{x \to 0^+} \sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx1−cos⁡(x2)ddx(1−cos⁡(x)))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(xsin⁡(x2)1−cos⁡(x2)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(x^{2} \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}} \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(xsin⁡(x2)1−cos⁡(x2)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \sin{\left(x^{2} \right)}}{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}} \sin{\left(x \right)}}\right)
=
2\sqrt{2}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100500
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /   _____________\
     |  /        / 2\ |
     |\/  1 - cos\x / |
 lim |----------------|
x->0+\   1 - cos(x)   /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) 
  ___
\/ 2
2\sqrt{2} 
= 1.4142135623731
     /   _____________\
     |  /        / 2\ |
     |\/  1 - cos\x / |
 lim |----------------|
x->0-\   1 - cos(x)   /
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) 
  ___
\/ 2
2\sqrt{2} 
= 1.4142135623731
= 1.4142135623731
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))=2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \sqrt{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))=2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \sqrt{2}
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))=11−cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - \cos{\left(1 \right)}}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))=11−cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - \cos{\left(1 \right)}}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x2)1−cos⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos{\left(x^{2} \right)}}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
  ___
\/ 2
2\sqrt{2}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
1.4142135623731
1.4142135623731
Gráfico
Límite de la función sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
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