Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno + dos /(uno +x))^(tres *x)
- (1 más 2 dividir por (1 más x)) en el grado (3 multiplicar por x)
- (uno más dos dividir por (uno más x)) en el grado (tres multiplicar por x)
- (1+2/(1+x))(3*x)
- 1+2/1+x3*x
- (1+2/(1+x))^(3x)
- (1+2/(1+x))(3x)
- 1+2/1+x3x
- 1+2/1+x^3x
- (1+2 dividir por (1+x))^(3*x)
-
Expresiones semejantes
- (1-2/(1+x))^(3*x)
- (1+2/(1-x))^(3*x)
Límite de la función (1+2/(1+x))^(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3*x
/ 2 \
lim |1 + -----|
x->oo\ 1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x}$$
Limit((1 + 2/(1 + x))^(3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = e^{6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = 8$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = 8$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = 8$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = 8$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right)^{3 x} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico