Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 e^{x} + 2 e\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} x}{2 \left(e^{x} + e\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x e^{x}}{2 e^{x} + 2 e}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x e^{x}}{\frac{d}{d x} \left(2 e^{x} + 2 e\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x e^{x} + e^{x}\right) e^{- x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x e^{x} + e^{x}\right) e^{- x}}{2}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)