Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x*asin(x^2)/(-sin(x)+x*cos(x))
-
Límite de ((5+x)/(-7+x))^(1+x/6)
-
Límite de x^(4/x)
-
Límite de (2+x^2+x^4-x^3-3*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco +x)/(- siete +x))^(uno +x/ seis)
- ((5 más x) dividir por ( menos 7 más x)) en el grado (1 más x dividir por 6)
- ((cinco más x) dividir por ( menos siete más x)) en el grado (uno más x dividir por seis)
- ((5+x)/(-7+x))(1+x/6)
- 5+x/-7+x1+x/6
- 5+x/-7+x^1+x/6
- ((5+x) dividir por (-7+x))^(1+x dividir por 6)
-
Expresiones semejantes
- ((5-x)/(-7+x))^(1+x/6)
- ((5+x)/(7+x))^(1+x/6)
- ((5+x)/(-7-x))^(1+x/6)
- ((5+x)/(-7+x))^(1-x/6)
Límite de la función ((5+x)/(-7+x))^(1+x/6)
Solución
Ha introducido
[src]
x
1 + -
6
/5 + x \
lim |------|
x->oo\-7 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
Limit(((5 + x)/(-7 + x))^(1 + x/6), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 7\right) + 12}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 7}{x - 7} + \frac{12}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{12}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 7}{12}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{12}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{13}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{6}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{6}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 7\right) + 12}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 7}{x - 7} + \frac{12}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{12}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 7}{12}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{12}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{13}{6}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{6}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{6}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = - \frac{5}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = - \frac{5}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{- \frac{5 i \pi}{6}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{- \frac{5 i \pi}{6}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = - \frac{5}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = - \frac{5}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{- \frac{5 i \pi}{6}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{- \frac{5 i \pi}{6}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x - 7}\right)^{\frac{x}{6} + 1} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico