Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{5 x} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{5 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1 - e^{- 5 x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{5 x} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{e^{5 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{5 x} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{5 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(5 e^{5 x} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} + \frac{4 e^{5 x}}{16 x^{2} + 1}\right) e^{- 5 x}}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{5 x} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} + \frac{4 e^{5 x}}{5 \left(16 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{5 x} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} + \frac{4 e^{5 x}}{5 \left(16 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{4}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)